Коэффициент эксцесса

Несколько распределений и их коэффициенты эксцесса. В порядке уменьшения высоты пика (значения в нуле):
распределение Лапласа;
Hyperbolic secant distribution;
Логистическое распределение;
Нормальное распределение;
Raised cosine distribution;
Полукруговой закон Вигнера;
Равномерное распределение

Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Определение

Пусть задана случайная величина $X$, такая что $\mathbb {E} |X|^{4}<\infty$. Пусть $\mu _{4}$ обозначает четвёртый центральный момент: $\mu _{4}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{4}\right]$, а $\sigma ={\sqrt {\mathrm {D} [X]}}$ — стандартное отклонение $X$. Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

$\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3$.

Замечание

• «Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса стандартного нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик очень гладкий.

Свойства коэффициента эксцесса

• $\gamma _{2}\in [-2,\infty )$.
• Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть $Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$. Тогда

$\gamma _{2,Y}={\frac {1}{n^{2}}}\sum \limits _{i=1}^{n}\gamma _{2,X_{i}}$,

где $\gamma _{2,Y},\gamma _{2,X_{i}},\;i=1,\ldots ,n$ — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

См. также

• Моменты случайной величины.